Sin18°的精确值等于(√5-1)/4，也可以近似地表示为0.309016994374947424102293417182819（保留21位小数）。为了更深入地理解这一数值，我们可以从多个角度探讨其来源与计算方法。
首先，从历史的角度来看，三角函数如正弦、余弦等，最初是伴随着天文学的发展而逐渐形成的。古人为了精确预测天体位置，必须解决各种角度与边长之间的关系问题，正弦函数正是其中的关键工具之一。对于特定角度如18°，其正弦值在当时的计算中具有重要的实用价值。
在现代数学中，正弦函数被定义为直角三角形中对边与斜边的比值。若一个直角三角形的锐角为18°，其对边长度与斜边长度的比值即为sin18°。然而，对于非特殊角度（如30°、45°、60°等），其正弦值通常无法表示为简单的有理数或整数之比，而需要借助无限不循环小数或根号形式来表达。
为了求得sin18°的精确值，我们可以利用三角函数的一些基本性质和公式。例如，可以利用半角公式sin(α/2)=√[(1-cosα)/2]来计算。但在此之前，我们需要知道cos18°的值。这可以通过利用和差化积公式、倍角公式或借助其他已知角度的三角函数值进行推算。不过，直接利用这些公式求解cos18°可能仍然比较复杂。
一个更为巧妙的方法是，我们可以构造一个含有36°角的等腰三角形，并借助该三角形的性质来求解。设等腰三角形的顶角为36°，两个底角各为36°的补角，即72°-36°=36°，但实际上由于三角形内角和为180°，所以底角应为(180°-36°)/2=72°，此处表述有误，应更正为利用等腰三角形的对称性和三角形内角和为180°的性质，我们可以构造出一个包含18°角的直角三角形，并通过该三角形的边长关系来求解sin18°。
具体地，我们可以设等腰三角形的底边长为a，腰长为b，高为h。由于三角形内角和为180°，且等腰三角形两底角相等，我们可以求出顶角的补角为72°×2=144°，进而求出顶角为180°-144°=36°。但此处我们的目标是18°，因此需要考虑将36°角平分的情况。然而，直接平分36°角并构造出18°角的直角三角形并不直观。为了简化问题，我们可以考虑一个包含36°和54°角的直角三角形（因为54°=90°-36°），并尝试通过该三角形与等腰三角形的关系来求解。但这种方法仍然较为复杂。
更为直接且有效的方法是利用三角函数的和差公式。我们知道sin(45°-27°)=sin45°cos27°-cos45°sin27°，而sin45°和cos45°都是已知的（均为√2/2）。因此，问题的关键在于求出cos27°和sin27°的值。但注意到27°是9°的3倍，我们可以利用倍角公式cos3θ=4cos²θ-3cosθ（此公式在θ=9°且cosθ≠1时成立，因为cos3θ-4cos²θ+3cosθ=(cosθ-1)³在cosθ≠1时恒等于0，从而可以解出cos3θ的表达式）来求解cos27°。然而，直接应用此公式需要我们先知道cos9°的值，这仍然是一个挑战。
为了避免直接求解cos9°的复杂性，我们可以考虑利用三角函数的半角公式和已知的特殊角度三角函数值进行组合求解。但这种方法仍然比较繁琐，且容易出错。因此，在实际应用中，我们更倾向于使用数值方法或查表法来求解非特殊角度的三角函数值。
不过，为了展示sin18°求解的完整性，我们可以简要提及一种基于几何构造和代数运算的求解方法。这种方法通常涉及复杂的几何图形和繁琐的代数运算，但能够精确地求解出sin18°的值。具体来说，我们可以构造一个包含18°角的几何图形（如通过等分圆或利用特殊三角形的性质等），然后通过测量或计算该图形中的边长关系来求解sin18°。这种方法虽然精确，但操作起来较为困难，且不易于理解。
相比之下，利用现代数学软件和计算器求解sin18°要简单得多。这些工具内部已经实现了高精度的数值算法，能够快速地给出任意角度的三角函数值。因此，在实际应用中，我们更倾向于使用这些工具来求解。
值得注意的是，虽然sin18°的值是一个无限不循环小数，但在实际应用中我们通常只需要取其近似值即可。例如，在科学计算、工程设计或物理学研究中，我们可能只需要知道sin18°的前几位小数即可满足精度要求。因此，在实际应用中我们更关心的是如何快速准确地求出这些近似值。
综上所述，sin18°的精确值等于(√5-1)/4，也可以近似地表示为0.309016994374947424102293417182819（保留21位小数）。这一数值的求解涉及了三角函数的基本性质、和差化积公式、倍角公式以及几何构造和代数运算等多个方面的知识。虽然直接求解较为复杂，但借助现代数学软件和计算器我们可以快速地得到精确或近似的结果。
